Question

如圖，在直角坐標系xOy中，二次函數y=-

2

3

x2+bx+5的圖象與x軸、y軸的公共點分別為A（5、0）、B，點C在這個二次函數的圖象上，且橫坐標為3．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求∠BAC的正切值；
（3）如果點D在這個二次函數的圖象上，且∠DAC=45°，求點D的坐標．

Answer 1

（1）將點A（5，0）代入，可得：0=-

2

3

×5²+5b+5，
解得：b=

7

3

，
故二次函數解析式為y=-

2

3

x²+

7

3

x+5．

（2）連接BC，
，
∵拋物線的解析式為y=-

2

3

x²+

7

3

x+5，
∴點B的坐標為（0，5），
∵點C的橫坐標為3，
∴點C的縱坐標為6，即可得點C的坐標為（3，6），
則BC=

(3-0)2+(6-5)2

=

10

，AB=5

2

，AC=

(5-3)2+(0-6)2

=

40

，
∵AB²=BC²+AC²，
∴△ABC是直角三角形，
∴tan∠BAC=

BC

AC

=

10

40

=

1

2

；

（3）∵OA=OB=5，∠BOA=90°，
∴∠BAO=45°，
又∵∠DAC=45°，
∴∠DAO=∠BAC，

設點D的坐標為（x，-

2

3

x²+

7

3

x+5），
則tan∠DAO=tan∠BAC=

- 2 3 x2+ 7 3 x+5

5-x

=

1

2

，
解得：x₁=-

3

4

，x₂=5（舍去），
故點D的坐標為（-

3

4

，

23

8

）．