Question

問題：如圖，要在一個矩形木板ABCD上切割、拼接出一個圓形桌面，可在該木板上切割出半徑相等的半圓形O₁和半圓形O₂，其中O₁、O₂分別是AD、BC上的點，半圓O₁分別與AB、BD 相切，半圓O₂分別與CD、BD相切．若AB=am，BC=bm，求最終拼接成的圓形桌面的半徑（用含a、b的代數式表示）．
（1）請解決該問題；
（2）①下面方框中是小明簡要的解答過程：

解得x=．
所以最終拼接成的圓形桌面的半徑為m．
老師說：“小明的解答是錯誤的！”請指出小明錯誤的原因．
②要使①中小明解得的答案是正確的，a、b需要滿足什么數量關系？

Answer 1

【答案】分析：（1）設半圓O₂與BD 的切點為E，連接O₂E，則O₂E⊥BD，根據∠C=90°，得出O₂E=O₂C，DC=DE=a，最后根據O₂B²=BE²+O₂E²，得出（b-EO₂）²=（-a）²+O₂E²，求出EO₂即可，
（2）①小明的錯誤是“O₁O₂=2x”，②要使小明解得的答案是正確的，就要半圓O₁與半圓O₂外切即可
解答：解：（1）如圖，設半圓O₂與BD 的切點為E，連接O₂E，則O₂E⊥BD，
∵半圓O₂與CD 相切，且∠C=90°，
∴O₂E=O₂C，DC=DE=a．
在Rt△BEO₂中，O₂B²=BE²+O₂E²，
∴（b-EO₂）²=（-a）²+O₂E²，
解得EO₂=，
∴最終拼接成的圓形桌面的半徑為=m；

（2）①小明的錯誤是半圓O₁與半圓O₂不能保證外切，即“O₁O₂=2x”是錯誤的，
②要使小明解得的答案是正確的，就要半圓O₁與半圓O₂外切．
此時半圓O₁與BD 的切點、半圓O₂與BD的切點以及O₁O₂與BD的交點重合．
所以-a=a，
解得b=a．
點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是切線長定理、勾股定理、圓的有關性質，關鍵是綜合應用有關性質列出關于半徑的方程．