Question

（2008•青島）實際問題：某學校共有18個教學班，每班的學生數都是40人．為了解學生課余時間上網情況，學校打算做一次抽樣調查，如果要確保全校抽取出來的學生中至少有10人在同一班級，那么全校最少需抽取多少名學生？
建立模型：為解決上面的“實際問題”，我們先建立并研究下面從口袋中摸球的數學模型：
在不透明的口袋中裝有紅，黃，白三種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現要確保從口袋中隨機摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？
為了找到解決問題的辦法，我們可把上述問題簡單化：
（1）我們首先考慮最簡單的情況：即要確保從口袋中摸出的小球至少有2個是同色的，則最少需摸出多少個小球？
假若從袋中隨機摸出3個小球，它們的顏色可能會出現多種情況，其中最不利的情況就是它們的顏色各不相同，那么只需再從袋中摸出1個小球就可確保至少有2個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3=4（如圖①）；
（2）若要確保從口袋中摸出的小球至少有3個是同色的呢？
我們只需在（1）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有3個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×2=7（如圖②）
（3）若要確保從口袋中摸出的小球至少有4個是同色的呢？
我們只需在（2）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有4個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×3=10（如圖③）：…
（10）若要確保從口袋中摸出的小球至少有10個是同色的呢？
我們只需在（9）的基礎上，再從袋中摸出3個小球，就可確保至少有10個小球同色，即最少需摸出小球的個數是：1+3×（10-1）=28（如圖⑩）

模型拓展一：在不透明的口袋中裝有紅，黃，白，藍，綠五種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現從袋中隨機摸球：
（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數是______；
（2）若要確保摸出的小球至少有10個同色，則最少需摸出小球的個數是______；
（3）若要確保摸出的小球至少有n個同色（n＜20），則最少需摸出小球的個數是______．
模型拓展二：在不透明口袋中裝有m種顏色的小球各20個（除顏色外完全相同），現從袋中隨機摸球：
（1）若要確保摸出的小球至少有2個同色，則最少需摸出小球的個數是______．
（2）若要確保摸出的小球至少有n個同色（n＜20），則最少需摸出小球的個數是______．
問題解決：（1）請把本題中的“實際問題”轉化為一個從口袋中摸球的數學模型；
（2）根據（1）中建立的數學模型，求出全校最少需抽取多少名學生？

Answer 1

【答案】分析：首先要理解題意，此題需要兩步完成，借助于列表法求解較簡單；解題時要注意利用類比和轉化的思想結合活動中獲得的數學經驗與知識解決實際問題．
解答：解：模型拓展一：（1）1+5=6；（1分）

	紅	白	藍
紅	（紅，紅）	（紅，白）	（紅，藍）
黃	（黃，紅）	（黃，白）	（黃，藍）
藍	（藍，紅）	（藍，白）	（藍，藍）

（2）1+5×9=46；（2分）

（3）1+5（n-1）；（3分）

模型拓展二：（1）1+m；（4分）

（2）1+m（n-1）；（5分）

問題解決：（1）在不透明口袋中放入18種顏色的小球（小球除顏色外完全相同）各40個，現要確保從口袋中隨機摸出的小球至少有10個是同色的，則最少需摸出多少個小球？（8分）
（2）1+18×（10-1）=163個（10分）
點評：本題以范例的形式給出，并在求解的過程中暗示解決問題的思路，要求學生在理解的基礎上進行方法的遷移運用．利用類比和轉化的思想結合活動中獲得的數學經驗與知識解決實際問題．