Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形OABC的兩個頂點A、B 的坐標分別A（ ，0）、B（ ，2），∠CAO=30°．

（1）求對角線AC所在的直線的函數表達式；
（2）把矩形OABC以AC所在的直線為對稱軸翻折，點O落在平面上的點D處，求點D的坐標；
（3）在平面內是否存在點P，使得以A、O、D、P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得，OA=2 ，∠CAO=30°，

則OC=OAtan∠CAO=2，

即點C的坐標為（0，2），

設直線AC的解析式為：y=kx+b，將點A及點C的坐標代入得： ，

解得： ，

故直線AC的函數表達式為：y= x+2

（2）

解：過點D作DE⊥OA于點E，

∵∠CAO=30°，

∴∠DAE=60°，

又∵AD=AO=2 ，

∴DE=3，AE= ，

∴OE= ，

故點D的坐標為（﹣ ，3）

（3）

解：

①當AD為平行四邊形的一邊時，點P的位置有兩個，分別為P1、P2，

當點P位于P1位置時，DP1=AO，

此時可得點P的坐標為（ ，3）；

當點P位于P2位置時，

∵OD=AD，△AOD是等邊三角形，

∴點P2與點D關于x軸對稱，

此時可得點P的坐標為（﹣ ，﹣3）；

②當AD為平行四年行的對角線時，點P的位置有一個，在P3的位置，

此時DP3=AO，

故可得點P的坐標為（﹣3 ，3）．

綜上可得存在點P的坐標，使得以A、O、D、P為頂點的四邊形為平行四邊形，點P的坐標為（ ，3）或（﹣ ，﹣3）或（﹣3 ，3）

【解析】（1）求出點C的坐標，利用待定系數法即可求出直線AC的函數表達式；（2）過點D作DE⊥OA于點E，利用三角函數的知識，求出DE及OE的長度，即可得出點D的坐標．（3）找到點P的可能位置，利用平行四邊形對邊相等的性質即可得出點P的坐標．
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法才能正確解答此題．