Question

【題目】（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF＝BE．求證：CE＝CF；

（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點，G是AD上一點，如果∠GCE＝45°，請你利用（1）的結論證明：GE＝BE+GD．

（3）運用（1）（2）解答中所積累的經驗和知識，完成下列兩題：

①如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一點，且∠DCE＝45°，BE＝4，則DE＝　 ．

②如圖4，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，且BD＝2，AD＝6，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①DE＝10；②△ABC的面積是15．

【解析】

（1）根據正方形的性質，可直接證明△CBE≌△CDF，從而得出CE=CF；

（2）延長AD至F，使DF=BE，連接CF，根據（1）知∠BCE=∠DCF，即可證明∠ECF=∠BCD=90°，根據∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD；

（3）①過C作CF⊥AD的延長線于點F．則四邊形ABCF是正方形，設DF=x，則AD=12-x，根據（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解；

②作∠EAB=∠BAD，∠GAC=∠DAC，過B作AE的垂線，垂足是E，過C作AG的垂線，垂足是G，BE和GC相交于點F，BF=6-2=4，設GC=x，則CD=GC=x，FC=6-x，BC=2+x．在直角△BCF中利用勾股定理求得CD的長，則三角形的面積即可求解．

（1）證明：如圖1，在正方形ABCD中，

∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE＝CF；

（2）證明：如圖2，延長AD至F，使DF＝BE，連接CF，

由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE＝∠DCF．

∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD

即∠ECF＝∠BCD＝90°，

又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°，

∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，

∴△ECG≌△FCG，

∴GE＝GF，

∴GE＝DF+GD＝BE+GD；

（3）①過C作CF⊥AD的延長線于點F．則四邊形ABCF是正方形．

AE＝AB﹣BE＝12﹣4＝8，

設DF＝x，則AD＝12﹣x，

根據（2）可得：DE＝BE+DF＝4+x，

在直角△ADE中，AE2+AD2＝DE2，則82+（12﹣x）2＝（4+x）2，

解得：x＝6．

則DE＝4+6＝10．

故答案是：10；

②作∠EAB＝∠BAD，∠GAC＝∠DAC，過B作AE的垂線，垂足是E，過C作AG的垂線，垂足是G，BE和GC相交于點F，則四邊形AEFG是正方形，且邊長＝AD＝6，BE＝BD＝2，

則BF＝6﹣2＝4，設GC＝x，則CD＝GC＝x，FC＝6﹣x，BC＝2+x．

在直角△BCF中，BC2＝BF2+FC2，

則（2+x）2＝42+x2，

解得：x＝3．

則BC＝2+3＝5，

則△ABC的面積是：ADBC＝×6×5＝15．