Question

已知，如圖，在邊長為a的正方形ABCD中，M是AD的中點，能否在邊AB上找一點N（不含A、B），使得△CDM與△MAN相似？若能，請給出證明，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：兩個三角形都是直角三角形，還只需滿足一對角對應相等或夾直角的兩邊對應成比例即可說明兩個三角形相似．
若DM與AM對應，則△CDM與△MAN全等，N與B重合，不合題意；
若DM與AN對應，則CD：AM=DM：AN，得AN=

1

4

a，從而確定N的位置．

解答：證明：分兩種情況討論：
①若△CDM∽△MAN，則

DM

AN

=

CD

AM

．
∵邊長為a，M是AD的中點，
∴AN=

1

4

a．
②若△CDM∽△NAM，則

CD

AN

=

DM

AM

．
∵邊長為a，M是AD的中點，
∴AN=a，即N點與B重合，不合題意．
所以，能在邊AB上找一點N（不含A、B），使得△CDM與△MAN相似．當AN=

1

4

a時，N點的位置滿足條件．

點評：此題考查相似三角形的判定．因不明確對應關系，所以需分類討論．