Question

【題目】如圖，正方形ABCD，動點E在AC上，AF⊥AC，垂足為A，AF＝AE．

（1）BF和DE有怎樣的數量關系？請證明你的結論；

（2）在其他條件都保持不變的是情況下，當點E運動到AC中點時，四邊形AFBE是什么特殊四邊形？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）BF＝DE；（2）正方形

【解析】

（1）由正方形的性質可得AB＝AD，∠DAC＝∠BAC＝45°，通過證明△AFB≌△AED，可得BF＝DE；

（2）由正方形的性質可得AE＝BE，∠AEB＝90°，通過證明△ABF≌△ABE，可得BF＝BE，可證四邊形AFBE是菱形，且AF⊥AE，可證四邊形AFBE是正方形．

證明：（1）BF＝DE，

理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAC＝∠BAC＝45°，

∵AF⊥AC，

∴∠FAB＝∠BAC＝∠DAC＝45°，且AD＝AB，AF＝AE，

∴△AFB≌△AED（SAS），

∴BF＝DE，

（2）正方形，

理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，點E是AC中點，

∴AE＝BE，∠AEB＝90°

∵∠FAB＝∠BAC＝45°，且AB＝AB，AF＝AE，

∴△ABF≌△ABE（SAS），

∴BF＝BE，

∴AE＝BE＝BF＝AF，

∴四邊形AFBE是菱形，且AF⊥AE，

∴四邊形AFBE是正方形