Question

（2008•宜賓）已知：如圖，菱形ABCD中，E，F分別是CB，CD上的點，且BE=DF．
（1）求證：AE=AF；
（2）若∠B=60°，點E，F分別為BC和CD的中點，求證：△AEF為等邊三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由菱形的性質可得AB=AD，∠B=∠D，又知BE=DF，所以利用SAS判定△ABE≌△ADF從而得到AE=AF；
（2）連接AC，由已知可知△ABC為等邊三角形，已知E是BC的中點，則∠BAE=∠DAF=30°，即∠EAF=60°．因為AE=AF，所以△AEF為等邊三角形．
解答：證明：（1）由菱形ABCD可知：
AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF；（4分）

（2）連接AC，
∵菱形ABCD，∠B=60°，
∴△ABC為等邊三角形，∠BAD=120°，（2分）
∵E是BC的中點，
∴AE⊥BC（等腰三角形三線合一的性質），
∴∠BAE=30°，同理∠DAF=30°，（2分）
∴∠EAF=60°，由（1）可知AE=AF，
∴△AEF為等邊三角形（2分）．
點評：此題主要考查學生對菱形的性質，全等三角形的判定及等邊三角形的判定的理解及運用．