Question

（1）先化簡，再求值：(x+2-

5

x-2

)÷

x-3

x-2

，其中x=

5

-3；
（2）若a=1-

2

，先化簡再求

a2-1

a2+a

+

a2-2a+1

a2-a

的值；
（3）已知a=

2

+1，b=

2

-1，求a²-a²⁰⁰⁵b²⁰⁰⁶+b²的值；
（4）已知：實數a，b在數軸上的位置如圖所示，

化簡：

(a+1)2

+2

(b-1)2

-|a-b|；
（5）觀察下列各式及驗證過程：
N=2時有式①：2×

2 3

=

2+ 2 3

N=3時有式②：3×

3 8

=

3+ 3 8

式①驗證：2×

2 3

=

23 3

=

(23-2)+2 22-1

=

2(22-1)+2 22-1

=

2+ 2 3

式②驗證：3×

3 8

=

33 8

=

(33-3)+3 32-1

=

3(32-1)+3 32-1

=

3+ 3 8

①針對上述式①、式②的規律，請寫出n=4時變化的式子；
②請寫出滿足上述規律的用n（n為任意自然數，且n≥2）表示的等式，并加以驗證．
（6）已知關于x的一元二次方程x²+（2m-1）+m²=0有兩個實數根x₁和x₂．    ①求實數m的取值范圍；②當x₁²-x₂²=0時，求m的值．

Answer 1

分析：（1）（2）（3）代數式化簡，首先把代數式利用分式計算法則和因式分解進行化簡，然后x，a的值代入求原代數式的值．第3題關鍵將a²⁰⁰⁵b²⁰⁰⁶轉化為（ab）²⁰⁰⁵b；
（4）根據算術平方根和絕對值的非負性化簡；
（5）根據算式找出根號內分母變化的規律即n²-1；
（6）用根的判別式求m的取值范圍，根與系數的關系變形求m的值并檢驗．

解答：解：
（1）原式=

x2-4-5

x-2

×

x-2

x-3

=x+3，
把x=

5

-3代入原式得

5

；

（2）原式=

(a+1)(a-1)

a(a+1)

+

|a-1|

a(a-1)

=

(a-1)

a

+

|a-1|

a(a-1)

，
∵a=1-

2

＜0，
∴原式=

a-1

a

-

1

a

=2

2

+3；

（3）∵a=

2

+1，b=

2

-1，
∴ab=1，
∴a²-a²⁰⁰⁵b²⁰⁰⁶+b²=a²-（ab）²⁰⁰⁵b+b²=a²-b+b²=7-

2

；


（4）由圖知，a＜-1，b＞1，
則原式=-（a+1）+2（b-1）+（a-b）
=b-3；

（5）①4×

4 15

=

4+ 4 15

；
②n×

n n2-1

=

n3 n2-1

=

n+ n n2-1

．

（6）①由題意有△=（2m-1）²-4m²≥0，解得m≤

1

4

，
即實數m的取值范圍是m≤

1

4

；
②由x₁²-x₂²=0得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0．
若x₁+x₂=0，即-（2m-1）=0，
解得m=

1

2

，
∵

1

2

＞

1

4

，∴m=

1

2

不合題意，舍去．
若x₁-x₂=0，即x₁=x₂
則△=0，由（1）知m=

1

4

．
故當x₁²-x₂²=0時，m=

1

4

．

點評：此題主要考查代數式化簡，找規律列代數式，根的判別式及根與系數的關系．