Question

如圖所示，在直角坐標系xOy中，A，B是x軸上兩點，以AB為直徑的圓交y軸于點C，設過A、B、C三點的拋物線關系為y=x²-mx+n，若方程x²-mx+n=0兩根倒數和為-2．
（1）求n的值；
（2）求此拋物線的關系式．

Answer 1

分析：（1）由于AB是圓的直徑，根據相交弦定理的推論可得OC²=OA•OB，若設A（x₁，0），B（x₂，0），那么n²=-x₁x₂，根據根與系數的關系知x₁x₂=n，聯立兩式即可求得n的值．
（2）根據韋達定理可求得方程的兩根之和與兩根之積，即可表示出它們的倒數和，已知了倒數和為2，即可求得m的值，由此確定拋物線的解析式．

解答：解：（1）由題意，設A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，n）
∵OA=-x₁，OB=x₂，又CO⊥AB，
∴CO²=AO•OB，
即n²=-x₁x₂；
又∵x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的兩根，
∴x₁•x₂=n，
∴n²=-n，
∴n₁=-1，n₂=0（舍去），
∴n=-1．

（2）∵x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的兩根，
∴x₁+x₂=m．
又∵n=-1，
∴x₁x₂=-1，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

m

-1

=-2，
∴m=2，
∴所求拋物線的關系式為y=x²-2x-1．

點評：此題主要考查相交弦定理、根與系數的關系、二次函數解析式的確定等知識，難度適中．