Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩條直角邊0A、08分別在y軸和x軸上，并且OA、OB的長分別是方程x²—7x+12=0的兩根(OA<0B)，動點P從點A開始在線段AO上以每秒l個單位長度的速度向點O運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，設點P、Q運動的時間為t秒．
(1)求A、B兩點的坐標。
(2)求當t為何值時，△APQ與△AOB相似，并直接寫出此時點Q的坐標．
(3)當t=2時，在坐標平面內，是否存在點M，使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A(0，3)， B(4，0)（2）t= ，Q（）；t= ，Q（）（3）存在。M₁（）， M₂（），M₃（）

解：（1）由x²－7 x +12=0解得x₁=3，x₂=4。
∵OA＜OB ，∴OA="3" , OB=4。∴A(0，3)， B(4，0)。
(2)由OA="3" , OB=4，根據勾股定理，得AB=5。
由題意得，AP=t,  AQ=5－2t 。分兩種情況討論：
①當∠APQ=∠AOB時，如圖1，

△APQ∽△AOB。∴，即 解得 t= 。∴Q（）。
②當∠AQP=∠AOB時，如圖2，

△APQ∽△ABO。∴，即 解得 t= 。∴Q（）。
（3）存在。M₁（）， M₂（），M₃（）。
（1）解出一元二次方程，結合OA＜OB即可求出A、B兩點的坐標。
（2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB兩種情況討論即可。
（3）當t=2時，如圖，

OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（）。
若以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形，則
①當AQ為對角線時，點M₁的橫坐標與點Q的橫坐標相同，縱坐標為。∴M₁（）。
②當PQ為對角線時，點M₂的橫坐標與點Q的橫坐標相同，縱坐標為。∴M₂（）。
③當AP為對角線時，點Q、M₃關于AP的中點對稱。
由A(0，3)，P（0，1）得AP的中點坐標為（0，2）。
由Q（）得M₃的橫坐標為，縱坐標為。∴M₃（）。
綜上所述，若以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形，則M點的坐標為
（）或（）或（）。