Question

【題目】如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=30°，B為的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動點(diǎn)，則PA+PB的最小值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，與MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時PA+PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，先求∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，再根據(jù)勾股定理即可得出答案．

解：作點(diǎn)A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，與MN的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，PA+PB的最小值即為A′B的長，連接OA′、OB、OA，

∵A′點(diǎn)為點(diǎn)A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)，∠AMN=30°，

∴∠AON=∠A′ON=2∠AMN=2×30°=60°，

又∵B為的中點(diǎn)， ∴，

∴∠BON=∠AOB=∠AON=×60°=30°，

∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=60°+30°=90°，

又∵MN=4， ∴OA′=OB=MN=×4=2，

∴Rt△A′OB中，A′B=，

即PA+PB的最小值為．

故答案為：．