Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F．
（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，

∴BC∥AD，

∴∠CBE=∠DFE，

在△BEC與△FED中，

，

∴△BEC≌△FED，

∴BE=FE，

又∵E是邊CD的中點，

∴CE=DE，

∴四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）解：①BC=BD=3時，由勾股定理得，AB= = =2 ，

所以，四邊形BDFC的面積=3×2 =6 ；②BC=CD=3時，過點C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形，所以，AG=BC=3，所以，DG=AG﹣AD=3﹣1=2，由勾股定理得，CG= = = ，所以，四邊形BDFC的面積=3× =3 ；③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾，此時不成立；綜上所述，四邊形BDFC的面積是6 或3 ．

【解析】（1）根據同旁內角互補兩直線平行求出BC∥AD，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）分①BC=BD時，利用勾股定理列式求出AB，然后利用平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；②BC=CD時，過點C作CG⊥AF于G，判斷出四邊形AGCB是矩形，再根據矩形的對邊相等可得AG=BC=3，然后求出DG=2，利用勾股定理列式求出CG，然后利用平行四邊形的面積列式計算即可得解；③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾．