Question

如圖，⊙O的直徑AC與弦BD相交于點F，點E是DB延長線上一點，∠EAB=∠ADB.
（1）求證：EA是⊙O的切線；
（2）已知點B是EF的中點，求證：以A、B、C為頂點的三角形與△AEF相似；
（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的條件下，求AE的長.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

解析試題分析：（1）連接CD，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ADC=90°，由角的關系可得出∠BAC=90°，即得出EA是⊙O的切線.
（2）連接BC，由AC是⊙O的直徑，可得出∠ABC=90°，由在RT△EAF中，B是EF的中點，可得出∠BAC=∠AFE，即可得出△EAF∽△CBA.
（3）由△EAF∽△CBA，可得出，由比例式可求出AB，由勾股定理得出AE的長．
試題解析：解：（1）證明：如答圖1，連接CD，
∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°.
∴∠ADB+∠EDC=90°.
∵∠BAC=∠EDC，∠EAB=∠ADB，
∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°.
∴EA是⊙O的切線.

（2）證明：如答圖2，連接BC，
∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°.
∴∠CBA=∠ABC=90°.
∵B是EF的中點，∴在Rt△EAF中，AB=BF.
∴∠BAC=∠AFE.∴△EAF∽△CBA.

（3）∵△EAF∽△CBA，∴.
∵AF=4，CF=2，∴AC=6，EF=2AB.
∴，解得AB=.∴EF=.
∴.
考點：1.圓周角定理；2.切線的判定；3.相似三角形的判定與性質；4.勾股定理．