Question

【題目】如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，且與y軸相交于點C，直線l是拋物線的對稱軸．

（1）求拋物線的函數關系式；
（2）設點P是直線l上的一個動點，當點P到點A、點C的距離之和最短時，求點P的坐標；
（3）點M也是直線l上的動點，且△MAC為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=x2+bx+c經過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）解：如圖1，

∵點A，B關于直線l對稱，

∴連接BC交直線l于點P，

由（1）知，拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，

∴直線l：x=1，C（0，﹣3），

∵B（3，0），

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

當x=1時，y=﹣2，

∴P（1，﹣2）

（3）解：設點M（1，m），

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴AC2=10，AM2=m2+4，CM2=（m+3）2+1=m2+6m+10，

∵△MAC為直角三角形，

∴當∠ACM=90°時，∴AC2+CM2=AM2，

∴10+m2+6m+10=m2+4，

∴m=﹣ ，

∴M（1，﹣ ）

當∠CAM=90°時，∴AC2+AM2=CM2，

∴10+m2+4=m2+6m+10，

∴m= ，

∴M（1， ）

當∠AMC=90°時，AM2+CM2=AC2，

∴m2+4+m2+6m+10=10，

∴m=﹣1或m=﹣2，

∴M（1，﹣1）或（1，﹣2），

即：滿足條件的點M的坐標為（1，﹣ ）或（1， ）或（1，﹣1）或（1，﹣2）

【解析】（1）方法一、將A、B兩點坐標代入函數解析式即可求。方法二、A、B兩點是拋物線與x軸的交點坐標，a=1可設拋物線解析式為y=（x+1）（x-3）.
（2）由題意可知點A，B關于直線l對稱，連接BC交直線l于點P，求出直線BC的函數解析式，即可求出點P的坐標。
（3）由于點M也是直線l上的動點，△MAC為直角三角形，因此設點M（1，m），根據A、C兩點坐標，分別求出AC2、AM2、CM2。再分三種情況：當∠ACM=90°時，∴AC2+CM2=AM2，當∠CAM=90°時，∴AC2+AM2=CM2，當∠AMC=90°時，AM2+CM2=AC2，分別建立方程，求出m的值，即可求得點m的坐標。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和軸對稱-最短路線問題的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑才能正確解答此題．