Question

【題目】如圖1，已知直線y=2x+2與y軸、x軸分別交于A、B兩點，以B為直角頂點在第二象限作等腰Rt△ABC ．

（1）求點C的坐標，并求出直線AC的關系式．

（2）如圖2，直線CB交y軸于E，在直線CB上取一點D，連接AD，若AD=AC，求證：BE=DE．

（3）如圖3，在（1）的條件下，直線AC交x軸于M，P（，k）是線段BC上一點，在線段BM上是否存在一點N，使△BPN的面積等于△BCM面積的？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（﹣3，1），直線AC：y=x+2；（2）證明見解析；（3）N（﹣，0）．

【解析】試題分析：（1）作CQ⊥x軸，垂足為Q，根據條件證明△ABO≌△BCQ，從而求出CQ=OB=1，可得C（﹣3，1），用待定系數法可求直線AC的解析式y=x+2；（2）作CH⊥x軸于H，DF⊥x軸于F，DG⊥y軸于G，證明△BCH≌△BDF，△BOE≌△DGE，可得BE=DE；（3）先求出直線BC的解析式，從而確定點P的坐標，假設存在點N使直線PN平分△BCM的面積，然后可求出BN的長，比較BM,BN的大小，判斷點N是否在線段BM上即可．

試題解析：解：（1）如圖1，作CQ⊥x軸，垂足為Q，

∴∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，

∴∠OAB=∠QBC，

又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，

∴△ABO≌△BCQ，

∵BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，

∴C（﹣3，1），

由A（0，2），C（﹣3，1）

可知，直線AC：y=x+2；

（2）如圖2，作CH⊥x軸于H，DF⊥x軸于F，DG⊥y軸于G，

∵AC=AD，AB⊥CB，

∵BC=BD，

∴△BCH≌△BDF，

∴BF=BH=2，

∴OF=OB=1，

∵DG=OB，

∴△BOE≌△DGE，

∴BE=DE；

（3）如圖3，直線BC：y=﹣x﹣，P（，k）是線段BC上一點，

∴P（﹣，），由y=x+2知M（﹣6，0），

∴BM=5，則S△BCM=．

假設存在點N使直線PN平分△BCM的面積，

則BN·=×，

∴BN=，ON=，

∴BN＜BM，

∴點N在線段BM上，

∴N（﹣，0）．