Question

24、如圖所示，圖1是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿圖中的虛線剪成四個全等的小長方形，再按圖2圍成一個較大的正方形．

（1）請用兩種方法表示圖2中陰影部分的面積（只需表示，不必化簡）；
（2）比較（1）的兩種結果，你能得到怎樣的等量關系？
（3）請你用（2）中得到的等量關系解決下面問題：如果m-n=4，mn=12，求m+n的值．

Answer 1

分析：（1）觀察圖形可確定：方法一，大正方形的面積為（m+n）²，四個小長方形的面積為4mn，中間陰影部分的面積為S=（m+n）²-4mn；
方法二，圖2中陰影部分為正方形，其邊長為m-n，所以其面積為（m-n）²．

（2）觀察圖形可確定，大正方形的面積減去四個小長方形的面積等于中間陰影部分的面積，即（m+n）²-4mn=（m-n）²或（m+n）²=（m-n）²+4mn．

（3）由（2）得，將m-n=4，mn=12，代入（2）式可求m+n=8．

解答：解：（1）方法一：∵大正方形的面積為（m+n）²，四個小長方形的面積為4mn，
∴中間陰影部分的面積為S=（m+n）²-4mn．
方法二：∵中間小正方形的邊長為m-n，∴其面積為（m-n）²．（4分）

（2）（m+n）²-4mn=（m-n）²或（m+n）²=（m-n）²+4mn）．（6分）

（3）由（2）得（m+n）²-4×12=4²，即（m+n）²=64，
∴m+n=±8．又m、n非負，∴m+n=8．（8分）

點評：本題是完全平方式的實際應用，完全平方式經常與正方形的面積公式和長方形的面積公式聯系在一起，要學會觀察圖形．