Question

【題目】我們常見的汽車玻璃升降器如圖①所示，圖②和圖③是升降器的示意圖，其原理可以看作是主臂PB繞固定的點O旋轉，當端點P在固定的扇形齒輪上運動時，通過叉臂式結構（點B可在MN上滑動）的玻璃支架MN帶動玻璃沿導軌作上下運動而達到玻璃升降目的．點O和點P，A，B在同一直線上．當點P與點E重合時，窗戶完全閉合（圖②），此時∠ABC＝30°；當點P與點F重合時，窗戶完全打開（圖③）．已知的半徑OP＝5cm，＝cm，OA＝AB＝AC＝20cm．

（1）當窗戶完全閉合時，OC＝_____cm．

（2）當窗戶完全打開時，PC＝_____cm．

Answer 1

【答案】20 5

【解析】

（1）證出∠OCB=90°，△AOC是等邊三角形，由等邊三角形的性質得出OC=OA=20cm即可；
（2）連接PC，OE，作PG⊥MN于G，如圖所示：由弧長公式求出∠EOP=90°，當窗戶完全打開時，∠POC=150°，得出∠COE=150°-90°=60°，∠BOC=30°，∠ABC=60°，得出△ABC是等邊三角形，BC=OA=20，求出BP=AB+OA+OP=45，, ，得出CG=BG-BC=，由勾股定理即可得出結果．

解：（1）∵OA＝AB＝AC＝20cm，

∴∠OCB＝90°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠BOC＝60°，

∴△AOC是等邊三角形，

∴OC＝OA＝20cm；

故答案為20；

（2）連接PC，OE，作PG⊥MN于G，如圖③所示：

則OCB＝∠PGC＝90°，

∴FG∥OC，

設∠EOP＝n°，

∵的長＝，

解得：n＝90，

∴∠EOP＝90°，

由（1）得：當窗戶完全閉合時，∠POC＝180°﹣60°＝150°，

∴∠COE＝150°﹣90°＝60°，

∴∠BOC＝90°﹣60°＝30°，

∴∠ABC＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，BC＝OA＝20，

∵BP＝AB+OA+OP＝45，

∴CG＝BG﹣BC＝，

在Rt△PCG中，由勾股定理得：．

故答案為．