Question

（2012•新疆）如圖，圓內接四邊形ABDC，AB是⊙O的直徑，OD⊥BC于E．
（1）請你寫出四個不同類型的正確結論；
（2）若BE=4，AC=6，求DE．

Answer 1

分析：（1）由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角；由OD垂直于BC，利用垂徑定理得到E為BC的中點，即BE=CE，

BD

=

CD

，由OD垂直于BC，AC也垂直于BC，利用垂直于同一條直線的兩直線平行可得出OD與AC平行；
（2）由OD垂直于BC，利用垂徑定理得到E為BC的中點，由BE的長求出BC的長，由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角，在直角三角形ABC中，由BC與AC的長，利用勾股定理求出AB的長，進而求出半徑OB與OD的長，在直角三角形BOE中，由OB與BE的長，利用勾股定理求出OE的長，由OD-OE即可求出DE的長．

解答：解：（1）四個不同類型的正確結論分別為：∠ACB=90°；BE=CE；

BD

=

CD

；OD∥AC；

（2）∵OD⊥BC，BE=4，
∴BE=CE=4，即BC=2BE=8，
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
根據勾股定理得：AB=10，
∴OB=5，
在Rt△OBE中，OB=5，BE=4，
根據勾股定理得：OE=3，
則ED=OB-OE=5-3=2．

點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，以及平行線的判定，熟練掌握定理是解本題的關鍵．