Question

填表解題：

方程	兩根x1，x2	x1+x2=	x1x2=
x2+2x+1=0
x2-3x-4=0
x2+4x-7=0

上表你能猜想若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0（a不等0）的兩根則x₁+x₂=

-

b

a

，x₁x₂₌

c

a

利用你的猜想解下列問題：
（1）若x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的兩根求，x₁²+x₂²和（x₁+2）（x₂+2）的值．
（2）已知2+

3

是方程x²-4x+c=0的一個根，求方程的另一個根及c的值．

Answer 1

分析：利用因式分解法和求根公式解方程x²+2x+1=0，x²-3x-4=0，x²+4x-7=0，然后填表，根據表中的數據猜想若x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0（a不等0）的兩根則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂₌

c

a

；
（1）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，然后變形x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，（x₁+2）（x₂+2）=x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4，再把x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3整體代入計算即可；
（2）設方程的另一個根為x₂，根據根與系數的關系得到2+

3

+x₂=4，（2+

3

）•x₂=c，先求出x₂，然后計算c的值．

解答：解：表中從左至右為：x₁=-1，x₂=-1，x₁+x₂=-2，x₁•x₂=1；
x₁=4，x₂=-1，x₁+x₂=-3，x₁•x₂=4；
x₁=-2+

11

，x₂=-2-

11

，x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-7；
故答案為-

b

a

，

c

a

；
（1）∵x₁+x₂=2，x₁•x₂=-3，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=2²-2×（-3）=4+6=10；
（x₁+2）（x₂+2）=x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4=-3+4+4=5；
（3）設方程的另一個根為x₂，
∵2+

3

+x₂=4，
∴x₂=2-

3

；
由∵（2+

3

）•x₂=c，
∴c=（2+

3

）（2-

3

）=4-3=1，
所以方程的另一個根為2-

3

，c的值為1．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：如果方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．