Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C（0，3），其對稱軸l為x=﹣1．

（1）求拋物線的解析式并寫出其頂點坐標；
（2）若動點P在第二象限內的拋物線上，動點N在對稱軸l上．
①當PA⊥NA，且PA=NA時，求此時點P的坐標；
②當四邊形PABC的面積最大時，求四邊形PABC面積的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C（0，3），其對稱軸l為x=﹣1，

∴，

解得：．

∴二次函數的解析式為y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，

∴頂點坐標為（﹣1，4）；

（2）

解：令y=﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或x=1，

∴點A（﹣3，0），B（1，0），

作PD⊥x軸于點D，

∵點P在y=﹣x2﹣2x+3上，

∴設點P（x，﹣x2﹣2x+3）

①∵PA⊥NA，且PA=NA，

∴△PAD≌△ANQ，

∴AQ=PD，

即y=﹣x2﹣2x+3=2，

解得x=﹣1（舍去）或x=﹣﹣1，

∴點P（﹣﹣1，2）；

②設P（x，y），則y=﹣x2﹣2x+3，

由于P在第二象限，所以其橫坐標滿足：﹣3＜x＜0，

∵S四邊形PABC=S△OBC+S△APO+S△OPC，

S△OBC=OBOC=×3×1=，

S△APO=AO|y|=×3y=y=（﹣x2﹣2x+3）=﹣x2﹣3x+，

S△OPC=CO|x|=×3（﹣x）=﹣x，

∴S四邊形PABC=﹣x2﹣3x+﹣x=6﹣x﹣x2=﹣（x+）2+，

∴當x=﹣時，S四邊形PABC最大值=，此時y=﹣x2﹣2x+3=，

所以P（﹣，）．

【解析】（1）將已知點的坐標代入已知的拋物線的解析式，利用待定系數法確定拋物線的解析式即可；
（2）①首先求得拋物線與x軸的交點坐標，然后根據已知條件得到PE=OA，從而得到方程求得x的值即可求得點P的坐標；
②用分割法將四邊形的面積S四邊形BCPA=S△OBC+S△OAC ， 得到二次函數，求得最值即可．
此題考查了二次函數的綜合應用，涉及知識點待定系數法求解析式，分割法求圖形面積，二次函數的最值求法.