Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，過點D作DE∥AB，交BC于E，且DE=BC，連接AC交AC于F，若∠ACB=∠CDE=30°，則圖中有幾個等腰三角形？請找出來并說明理由．

Answer 1

【答案】解：共有兩個等腰三角形，分別是△ACD，△DCF．

理由：∵DE∥AB，

∴∠DEC=∠B，

在△DCE和△CAB中，

，

∴△DCE≌△CAB，

∴CA=CD，

∴△ACD是等腰三角形，

∵∠B=90°，

∴∠DEC=90°，

∵∠ACB=∠CDE=30°，

∴∠DCE=90°﹣∠CDE=60°，

∴∠DCF=∠DCE﹣∠ACE=30°=∠CDE，

∴DF=CF，

∴△DCF是等腰三角形．

【解析】首先證明△DCE≌△CAB推出CA=CD，再證明∠FCD=∠FDC=30°即可解決問題．
【考點精析】本題主要考查了平行線的性質和等腰三角形的判定的相關知識點，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等才能正確解答此題．