Question

【題目】如圖，拋物線經過，兩點，與軸正半軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）為線段上一點，過作軸的垂線，交拋物線于點，將線段，繞點逆時針旋轉任意相同的角到，的位置，使點，的對應點，都在軸下方，與交于點，與軸交于點．當時，求點的坐標；

（3）在拋物線上，在坐標平面內，當以，，，為頂點的四邊形為矩形時，直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式是y=－x2+3x+4；（2）D點坐標為為（2，0），（3）點N的坐標（6，2）或（－6，－2）或或．

【解析】

（1）把點和點坐標代入拋物線解析式解出和即可；

（2）旋轉性質可證△EDP∽△GDQ，從而可得，繼而可得ED=2DC，設D點坐標為（x，0），可得方程，解之即可；

（3）按ABM三點構成直角位置分三種情況討論，畫出圖形，利用三角形相似和坐標系中兩點距離列方程求解出M點坐標，再按平移規律可得N點坐標．

（1）解：∵拋物線y=－x2+bx+c經過A（0，4），C（－1，0）兩點，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式是y=－x2+3x+4；

（2）∵∠EDF=∠CDG，

∴∠EDF－∠PDF=∠CDG－∠PDF，

∴∠EDP＝∠GDQ，

又DE=DF，DC=DG，

∴，

∴△EDP∽△GDQ，

∴，

∴ED=2DC，

設D點坐標為（x，0）

∴解得x1=－1，x2=2

∴D點坐標為為（2，0）

（3）點N的坐標是（6，2）或（－6，－2）或或．

∵B點是拋物線y=－x2+3x+4的交點，

∴B點坐標為（4，0），

∴OB=4，

I.當 時，如解圖（1），過M點作MH⊥y軸，易證，

∴，

∴AH=HM，

設HM=x，則M點坐標為,

又∵點M在拋物線y=－x2+3x+4，

∴，

解得或，

∴M點坐標為，

∵四邊形ABNM是矩形，根據點平移規律可知N點坐標為，

II.當 時，如解圖（2），同理可求N點坐標為，

III.當時，以AB為直徑作圓，交拋物線與M、，如解圖（3），

設M點坐標為（x，y），

∵圓心點P坐標為（2，2），

∴MP

即：，

又∵點M在拋物線y=－x2+3x+4，

∴

解得：，，

即M點為，，

∵由點的平移規律可知，N點坐標為：或．

綜上所述：點N的坐標（6，2）或（－6，－2）或或．