Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD于點D．

求證：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2＝AB·AD．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）根據CD為切線得出∠ACD+∠ACO=90°，根據OC=OA得出∠ACO=∠CAO，即∠AOC+∠ACO=90°，將兩式聯立得出答案；（2）連接BC，根據AB為直徑得出∠ACB=90°，結合∠AOC=2∠B得出∠B=∠ACD，從而得到△ACD∽△ABC，得出答案．

試題解析：（1）∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD=90°， 即∠ACD+∠ACO=90°．…①

∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO， ∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°．…②

由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；

（2）如圖，連接BC．

∵AB是直徑，∴∠ACB=90° 在Rt△ACD與△RtABC中，∵∠AOC=2∠B，

∴∠B=∠ACD， ∴△ACD∽△ABC， ∴=AB·AD