Question

【題目】如圖，一次函數的圖象與軸、軸分別交于點，以線段為邊在第一象限作等邊．

（1）若點在反比例函數的圖象上，求該反比例函數的解析式；

（2）點在第一象限，過點作軸的垂線，垂足為，當與相切時，點是否在（1）中反比例函數圖象上，如果在，求出點坐標；如果不在，請加以說明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，（2，1）.

【解析】

試題分析：（1）由直線解析式可求得A、B坐標，在Rt△AOB中，利用三角函數定義可求得∠BAO=30°，且可求得AB的長，從而可求得CA⊥OA，則可求得C點坐標，利用待定系數法可求得反比例函數解析式；

（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO兩種情況，分別利用相似三角形的性質可求得m的值，可求得P點坐標，代入反比例函數解析式進行驗證即可．

試題解析：（1）在中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，

∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO=，∴∠BAO=30°，

∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∴∠CAO=90°，

在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C（，2），

∵點C在反比例函數的圖象上，∴k=2×=2，

∴反比例函數解析式為；

（2）∵P（2，m）在第一象限，∴AD=OD﹣OA=2﹣=，PD=m，

當△ADP∽△AOB時，則有，即，解得m=1，此時P點坐標為（2，1）；

當△PDA∽△AOB時，則有，即，解得m=3，此時P點坐標為（2，3）；

把P（2，3）代入可得，∴P（2，3）不在反比例函數圖象上，

把P（2，1）代入反比例函數解析式得，∴P（2，1）在反比例函數圖象上；

綜上可知P點坐標為（2，1）．