Question

【題目】如圖，在 Rt△ABC 中，∠A=30°，∠ACB=90°，點 D 為 AC 中點， 點 E 為 AB 邊上一動點，AE=DE，延長 ED 交 BC 的延長線于點 F.

（1）求證：△BEF 是等邊三角形；

（2）若 AB=12，求 DE 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE=3．

【解析】

（1）在Rt△ABC 中，∠A=30°，∠ACB=90°，可得∠B=60°，又D 為 AC 中點，AE=DE，可得∠A =∠ADE=30°，可得∠BEF= 60°，△BEF 是等邊三角形.

(2) 在 EF 上截取 FG=CF ，連接 CG, 可證得△ADE≌△CDG，AE=CG 設 AE=x，可得BE=12-x，CF=CG=AE=x，BF=6+x，可求x的值，可得DE的長.

（1）A =30°，∠ACB =90°，，

∴∠B=60°．

∵AE=DE，

∴∠A =∠ADE=30°，

∴∠BEF=∠A +∠ADE= 60°．

∴△BEF 是等邊三角形．

（2）在 EF 上截取 FG=CF ，連接 CG，

∵∠F=60°，

∴△CFG 為等邊三角形．

∴∠FGC =∠F=∠BEF=60°，

∴∠AED =∠CGD，

在△ADE 和△CDG 中，

ADE CDG，AED CGD，AD CD，

∴△ADE≌△CDG（AAS），

∴AE=CG 設 AE=x，則BE=12-x，

∵BC=6，

∴CF=CG=AE=x，

∴BF=6+x，

∴12-x=6+x，，

∴x=3，

∴DE=3．