Question

【題目】如圖，AC是ABCD的對角線，點E是邊AD的中點，連接BE交AC于點F，連接CE，DF，若∠BEC=∠BAC=90°，則sin∠DFE的值為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖，取BC的中點O，連接AO、EO，作DH⊥BE于H，設EF=a，由已知可推導得出A、B、C、E四點共圓，再根據AE∥BC，可得，繼而可得AB=CE=CD，根據AB∥CD以及AE=ED，可推導得出△CDE是等邊三角形，繼而可得出∠FCB=∠FBC=30°，∠FEA=∠FAE=30°，由EF=a，則AE=a，在Rt△DEH中，則可得DH=a，EH=a，從而可求得FH、DF長，再根據正弦的定義進行求解即可得.

如圖，取BC的中點O，連接AO、EO，作DH⊥BE于H，設EF=a，

∵∠BAC=∠BEC=90°，BO=OC，

∴OA=OB=OC=OE，

∴A、B、C、E四點共圓，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠ACB，

∴，

∴AB=CE=CD，

∵AB∥CD，

∴∠ACD=∠BAC=90°，

∵AE=ED，

∴CE=DE=AE=CD，

∴△CDE是等邊三角形，

∴∠ABC=∠CDE=60°，

∴∠FCB=∠FBC=30°，∠FEA=∠FAE=30°，

∵EF=a，則AE=a，

在Rt△DEH中，∵∠HED=30°，DE=a，

∴DH=a，EH=a，

∴FH=a，

DF=，

∴sin∠DFE=，

故答案為：．