Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，拋物線對稱軸與x軸相交于點M，

（1）求△ABC的面積；
（2）若p是x軸上方的拋物線上的一個動點，求點P到直線BC的距離的最大值；
（3）若點P在拋物線上運動（點P異于點A），當∠PCB=∠BCA時，求直線PC的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，則有﹣ x2+4x﹣6=﹣ （x﹣2）（x﹣6）=0，

解得：x1=2，x2=6，

即點A（2，0），點B（6，0）．

令x=0，則y=﹣6，

即點C（0，6）．

∴AB=4，CO=6．

△ABC的面積S△ABC= ABCO= ×4×6=12

（2）

解：設直線BC的解析式為y=kx+b，

∵點B（6，0），點C（0，﹣6），

∴有 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=x﹣6．

設經過動點P且平行于直線BC的直線解析式為y1=x+a．

將y1=x+a代入拋物線y=﹣ x2+4x﹣6中得： x2﹣3x+6+a=0，

若直線y1=x+a與拋物線相切，則有：

△=（﹣3）2﹣4× ×（6+a）=0，即3+2a=0，

解得：a=﹣ ．

∴ ﹣3x+6﹣ =0，即x2﹣6x+9=0，

解得：x=3，

將x=3代入y1=x﹣ ，得y1= ，

∴此時P點坐標為（3， ）在x軸上方．

∵直線BC的解析式為x﹣y﹣6=0，

∴點P到直線BC的距離= = ．

故點P到直線BC的距離的最大值為

（3）

解：過點A作AE⊥BC與點E，并延長AE交直線CP與點D，如圖所示．

∵點A（2，0），點B（6，0），點O（0，0），點C（0，﹣6），

∴AB=4，OA=2，OC=6，OB=6．

由勾股定理可知：AC= =2 ，BC= =6 ，

∴sin∠OBC= = = ，AE=2 ．

∵∠PCB=∠ACB，且BC⊥AD，

∴CD=CA=2 ，DE=AE=2 （等腰三角形三線合一），

∴AD=AE+DE=4 ．

設點D坐標為（m，n），

則由兩點間的距離公式可知，

，解得 （舍去）或 ．

即此時點D的坐標為（6，﹣4）．

設直線CP的解析式為y=k1x﹣6，將D點坐標代入得：

﹣4=6k1﹣6，解得：k1= ．

∴若點P在拋物線上運動（點P異于點A），當∠PCB=∠BCA時，直線PC的解析式為y= x﹣6．

【解析】（1）令x=0，可得點C坐標，令y=0，可得點A、B坐標，再結合三角形面積公式，即可得出結論；（2）找與直線BC平行且過動點P的直線，令此直線與拋物線相切，看切點P是否在x軸上方，如果在，則切點P到直線BC的距離就是所求最大距離，若不在，只需考慮端點A、B到直線BC的距離即可；（3）過點A作AE⊥BC與點E，并延長AE交直線CP與點D，巧妙利用等腰三角形的三線合一，找出AD、CD的長度，根據兩點間的距離公式即可得出結論，不過此處要注意到會產生增根．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．