Question

【題目】如圖，△ABC中，已知∠C=90°，∠B=60°，點D在邊BC上，過D作DE⊥AB于E．

（1）連接AD，取AD的中點F，連接CF，EF，判斷△CEF的形狀，并說明理由

（2）若BD=CD．把△BED繞著點D逆時針旋轉m（0＜m＜180）度后，如果點B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么m=

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形，見解析；（2）60°或135°

【解析】

（1）有直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得FC=FE，再證明∠CFE=60°即可；

（2）根據∠B=60°，∠DEB=90°，可知BD=DE，又BD=CD，則DC=DE，將△BED繞著點D逆時針旋轉m°（0<n<180）；分點B落在Rt△ABC的AB和AC上兩種情況解答即可．

解：（1）△CEF為等邊三角形，理由如下：

∵∠ACD=90°，∠B=60°，

∴∠CAB=30°

∵∠ACD=∠AED=90°，F是AD中點

∴CF=AF=DF=AD, EF= AF=DF=AD

∴CF=EF，∠CAF=∠FCA, ∠FAE=∠AEF,

∴∠CFD=∠CAF+∠FCA=2∠CAF, ∠EFD=∠EAF+∠AEF=2∠EAF,

∵∠CFE=∠CFD+∠EFD=2(∠CAF+∠EAF)=2∠CAB=60°

∴△CEF為等邊三角形；

（2）①若點B落在AB邊上的點M時，

∵DB=DM, ∠B=60°

∴△DBM為等邊三角形，m=∠BDM=60°

②若點B落在AC邊上的點N時，

∵DB=DN=CD, ∠C=90°

∴△DBN為等腰直角三角形，

m=∠BDM=135°

綜上所述，點B落在三角形的邊上時，m=60°或135°．