Question

（2008•揚州）紅星公司生產的某種時令商品每件成本為20元，經過市場調研發現，這種商品在未來40天內的日銷售量m（件）與時間t（天）的關系如下表：

時間t（天）	1	3	6	10	36	…
日銷售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未來40天內，前20天每天的價格y₁（元/件）與時間t（天）的函數關系式為y₁=t+25（1≤t≤20且t為整數），后20天每天的價格y₂（元/件）與時間t（天）的函數關系式為y₂=-t+40（21≤t≤40且t為整數）．
下面我們就來研究銷售這種商品的有關問題：
（1）認真分析上表中的數據，用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據的m（件）與t（天）之間的關系式；
（2）請預測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？
（3）在實際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤（a＜4）給希望工程．公司通過銷售記錄發現，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數關系式；
（2）日利潤=日銷售量×每件利潤，據此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據函數性質求最大值后比較得結論；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據函數性質求a的取值范圍．
解答：解：（1）設一次函數為m=kt+b，
將和代入一次函數m=kt+b中，
有，
∴．
∴m=-2t+96．
經檢驗，其它點的坐標均適合以上解析式，
故所求函數解析式為m=-2t+96；

（2）設前20天日銷售利潤為p₁元，后20天日銷售利潤為p₂元．
由p₁=（-2t+96）（t+25-20）
=（-2t+96）（t+5）
=-t²+14t+480
=-（t-14）²+578，
∵1≤t≤20，
∴當t=14時，p₁有最大值578（元）．
由p₂=（-2t+96）（-t+40-20）
=（-2t+96）（-t+20）
=t²-88t+1920
=（t-44）²-16．
∵21≤t≤40，此函數對稱軸是t=44，
∴函數p₂在21≤t≤40上，在對稱軸左側，隨t的增大而減小．
∴當t=21時，p₂有最大值為（21-44）²-16=529-16=513（元）．
∵578＞513，故第14天時，銷售利潤最大，為578元；

（3）p₁=（-2t+96）（t+25-20-a）=-t²+（14+2a）t+480-96a
對稱軸為t==14+2a．
∵t取1≤t≤20之內的整數，
∴對稱軸14+2a滿足20≤14+2a，p₁也是隨整數t增加而增加．
∴3≤a＜4．
點評：（1）熟練掌握各函數的性質和圖象特征，針對所給條件作出初步判斷后需驗證其正確性；
（2）最值問題需由函數的性質求解時，正確表達關系式是關鍵．同時注意自變量的取值范圍．