Question

（2013•肇慶一模）在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…，按這樣的規律進行下去，第2013個正方形的面積為（　　）

• A．5(

  3

  2

  )4024
• B．5(

  3

  2

  )4026
• C．5(

  3

  2

  )2012
• D．5(

  3

  2

  )2013

Answer 1

分析：推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA₁，證△DOA∽△ABA₁，得出

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，求出AB，BA₁，求出邊長A₁C=

3

2

5

，求出面積即可；求出第2個正方形的邊長是（

3

2

）²×

5

，求出面積，再求出第3個正方形的面積；依此類推得出第2013個正方形的邊長，求出面積即可．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA₁=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∵∠DOA=∠ABA₁，
∴△DOA∽△ABA₁，
∴

BA1

AB

=

OA

OD

=

1

2

，
∵AB=AD=

22+12

=

5

，
∴BA₁=

1

2

5

，
∴第1個正方形A₁B₁C₁C的邊長A₁C=A₁B+BC=

1

2

5

+

5

=

3

2

5

，
面積是（

3

2

5

）²=5×（

3

2

）²=

45

4

，
同理第2個正方形的邊長是

3

2

5

+

3

4

5

=

9

4

5

=（

3

2

）²

5

，面積是[（

3

2

）²

5

]²=5×（

3

2

）⁴；）
第3個正方形的邊長是（

3

2

）³

5

，面積是5×（

3

2

）⁶；
…，
第2013個正方形的邊長是（

3

2

）²⁰¹³×

5

，面積是5×（

3

2

）^2×2013=5×（

3

2

）⁴⁰²⁶，
故選B．

點評：本題考查了正方形的性質，相似三角形的性質和判定，勾股定理的應用，解此題的關鍵是根據計算的結果得出規律，題目比較好，但是一道比較容易出錯的題目