Question

【題目】已知矩形ABCD中,AF為∠DAC的角平分線,CP⊥AF于點F,且交AD的延長線于P.連接BF交對角線AC于點O.

(1)若BC=4，tan∠ACB= ,求的值;

(2)求證:∠AOB=3∠PAF.

Answer 1

【答案】（1）-4，（2）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）首先根據條件證明AP=AC，然后利用tan∠ACB=，求出AB=2，然后利用勾股定理求出AC=，DP=-4，再利用三角形的面積公式計算即可；（2）連接DF，根據（1）的過程得出PF=CF，進而得到∠ADF=∠BCF，然后證明△ADF≌△BCF，得出∠DAF=∠CBF，再利用角的和差關系可得出結論.

試題解析：（1）∵AF為∠DAC的角平分線，CP⊥AF，∴AP=AC，∵BC=4，tan∠ACB=，∴AB=2，根據勾股定理得AC=，∴DP=-4，∴S△DCP=DPDC=×（-4）×2=-4，

（2）如圖所示，連接DF，

由（1）易知PF=CF，∴DF=CF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠ADF=∠BCF，在△ADF和△BCF中，，∴△ADF≌△BCF，∴∠DAF=∠CBF，又∵∠ACB=∠DAC=2∠DAF，∴∠AOB=∠CBF+∠ACB=3∠DAF．