Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．點E從點B出發沿BC方向運動，過點E作EF∥AD交邊AB于點F．將△BEF沿EF所在的直線折疊得到△GEF，直線FG、EG分別交AD于點M、N，當EG過點D時，點E即停止運動．設BE=x，△GEF與梯形ABCD的重疊部分的面積為y．

（1）證明△AMF是等腰三角形；
（2）當EG過點D時（如圖（3）），求x的值；
（3）將y表示成x的函數，并求y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，∵EF∥AD，

∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF．

∵△GFE與△BFE關于EF對稱，

∴△GFE≌△BFE，

∴∠GFE=∠BFE，

∴∠A=∠AMF，

∴△AMF是等腰三角形

（2）

解：如圖1，作DQ⊥AB于點Q，

∴∠AQD=∠DQB=90°．

∵AB∥DC，

∴∠CDQ=90°．

∵∠B=90°，

∴四邊形CDQB是矩形，

∴CD=QB=2，QD=CB=6，

∴AQ=10﹣2=8．

在Rt△ADQ中，由勾股定理得

AD= =10，

∴tan∠A= ，

∴tan∠EFB= =

如圖3，∵EB=x，

∴FB= x，CE=6﹣x，

∴AF=MF=10﹣ x，

∴GM= ，

∴GD=2x﹣ ，

∴DE= ﹣x，

在Rt△CED中，由勾股定理得

（ ﹣x）2﹣（6﹣x）2=4，

解得：x= ，

∴當EG過點D時x= ；

（3）

解：當點G在梯形ABCD內部或邊AD上時，

y= x x= x2，

當點G在邊AD上時，GM= =0，求得x= ，

此時0＜x≤ ，

則當x= 時，y最大值為 ．

當點G在梯形ABCD外時，

∵△GMN∽△GFE，

∴ ，

即 ，由（2）知，x≤ ，

y=﹣2x2+20x﹣ =﹣2（x﹣5）2+ （ ＜x≤ ），

當x=5時，y最大值為 ，

由于 ＞ ，故當x=5時，y最大值為

【解析】（1）由條件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE與△BFE關于EF對稱可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，從而得出結論；（2）當EG過點D時在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情況討論當點G不在梯形外時和點G在梯形之外兩種情況求出x的值就可以求出y與x之間的函數關系式，在自變量的取值范圍內就可以求出相應的最大值，從而求出結論；
【考點精析】掌握等腰三角形的性質和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．