Question

【題目】已知：和均為等腰直角三角形，，，，連接.

（1）如圖1所示，線段與的數量關系是_____，位置關系是_____；

（2）在圖1中，若點M、P、N分別為的中點，連接，請判斷的形狀，并說明理由；

（3）如圖2所示，若M、N、P分別為上的點，且滿足，，連接，則線段長度是多少？

Answer 1

【答案】（1）相等，垂直；（2）為等腰直角三角形，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）延長BD與EC相交于F，證明△ABD≌△ACE，根據全等三角形的性質可得BD=CE,，再進一步證明可得∠BFC=90°，由此可證明與垂直且相等；

（2）結合（1），根據中位線的定理，可推出為等腰直角三角形；

（3）證明△CPN∽△CDB，△DPM∽△DCE，根據相似三角形的性質可求得NP和MP的值，結合（2）可證明∠NPM=90°，根據勾股定理可求得MN的長度.

解：（1）如下圖延長BD與EC相交于F，

∵和均為等腰直角三角形，，

∴

∴

又∵，

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴BD=CE,，

∵

∴,

∴

∴,即

∴,即.

故線段與的數量關系是相等，位置關系是垂直.答案為:相等，垂直.

（2）為等腰直角三角形，理由如下：

∵點M、P、N分別為的中點，

∴NP和MP分別為△BCD和△ECD的中位線，

∴

∴，

由（1）得BD=CE，

∴，

由（1）得，

∴

∴,即.

∴為等腰直角三角形.

（3）∵

∴

又∵∠BCD=∠BCD

∴△CPN∽△CDB

∴，，

∴NP//BD，

∵

∴,

同理可證△DPM∽△DCE，，MP//EC，

∴

與（2）同理可證，

∴在Rt△中，根據勾股定理

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