Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點C(O，4)，與軸交于點A和點B，其中點A的坐標為（－2,0），拋物線的對稱軸與拋物線交于點D，與直線BC交于點E．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點F是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積為17，若存在，求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)平行于DE的一條動直線Z與直線BC相交于點P，與拋物線相交于點Q，若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標。

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式是；

（2）不存在滿足條件的點F；

（3）滿足條件的點P有三個，分別是P1 (3,1)，P2（2+，2 －），P3（2—，2十）

【解析】

試題（1）先把C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得出c=4①，再由拋物線的對稱軸x=-=1，得到b=-2a②，拋物線過點A（-2，0），得到0=4a-2b+c③，然后由①②③可解得，a=-，b=1，c=4，即可求出拋物線的解析式為y=-x2+x+4；（2）假設存在滿足條件的點F，連結BF、CF、OF，過點F作FH⊥x軸于點H，FG⊥y軸于點G．設點F的坐標為（t，-t2+t+4），則FH=-t2+t+4，FG=t，先根據三角形的面積公式求出S△OBF=OBFH=-t2+2t+8，S△OFC=OCFG=2t，再由S四邊形ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC，得到S四邊形ABFC=-t2+4t+12．令-t2+4t+12=17，即t2-4t+5=0，由△=（-4）2-4×5=-4<0，得出方程t2-4t+5=0無解，即不存在滿足條件的點F；
（3）先運用待定系數法求出直線BC的解析式為y=-x+4，再求出拋物線y=-x2+x+4的頂點D（1，），由點E在直線BC上，得到點E（1，3），于是DE=-3=．若以D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，因為DE∥PQ，只須DE=PQ，設點P的坐標是（m，-m+4），則點Q的坐標是（m，-m2+m+4）．分兩種情況進行討論：①當0<m<4時，PQ=（-m2+m+4）-（-m+4）=-m2+2m，解方程-m2+2m=，求出m的值，得到P1（3，1）；②當m<0或m>4時，PQ=（-m+4）-（-m2+m+4）=m2-2m，解方程m2-2m=，求出m的值，得到P2（2+，2-），P3（2-，2+）．

試題解析：(1)由拋物線經過點C(O，4)可得c=4,①

∵對稱軸x= =1，∴b=－2a，②，

又拋物線過點A（一2，O）∴0=4a－2b+c，③

由①②③ 解得：a=, b=1 ,c=4．

所以拋物線的解析式是

(2)假設存在滿足條件的點F，連接BF、CF、OF．

過點F分別作FH⊥x軸于H , FG⊥y軸于G．

設點F的坐標為（t, +t+4），其中O<t<4， 則FH=+t+4 FG=t,

∴=OB.FH=×4×（+4t+4）=-+2t+8 ,

=OC.FC=×4×t=2t

令-+4t+12 =17，即－4t+5=0，則△= -4<0,

∴方程－4t+5=0無解，故不存在滿足條件的點F．

(3)設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠O），又過點B(4，0)， C(0，4)

所以，解得：，

所以直線BC的解析式是y= -x+4．

由y=+4x+4=+，得D（1，），

又點E在直線BC上，則點E(1，3)，

于是DE=-3= .

若以D.E.P.Q為頂點的四邊形是平行四邊形，

因為DE∥PQ，只須DE=PQ,

設點P的坐標是（m，-m+4），則點Q的坐標是（m，-+m+4）．

①當O<m<4時，PQ=（-+m+4）-（-m+4）= -+2m．

由-+2m= ，解得：m=1或3．

當m=1時，線段PQ與DE重合,m=－1舍去,

∴m=－3，此時P1 (3，1)．

②當m<0或m>4時，PQ=（-m+4）-（-++m+4)= -2m,

由-2m=，解得m=2±，經檢驗適合題意，

此時P2（2+，2-），P3（2-，2+）．

綜上所述，滿足條件的點P有三個，分別是P1 (3，1)，P2（2+，2 －），P3（2-，2+）