Question

【題目】如圖：梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=4， AB=3，，在線段BC上取一點P（不與B、C重合），聯結DP，作射線PQ⊥DP，PQ與直線AB交于點Q．

（1）求出梯形ABCD的面積；

（2）若點Q在邊AB上，設CP=x，AQ=y，試寫出y關于自變量x的函數關系式，并寫出定義域．

（3）△DPC是等腰三角形，求AQ的長．

Answer 1

【答案】（1）21；（2），（6≤x<10)；（3）或.

【解析】

（1）作DH⊥BC，在Rt△DHC中，根據，可求出HC=6，然后按照梯形的面積公式求解即可；

（2）先證明△QBP∽△PHD，根據相似三角形的性質可得,由 PC=x，所以PH=x-6，BBP=10-x，代入整理即可；

（3）分△DPC是銳角三角形和鈍角三角形兩種情況求解即可.

解：（1）作DH⊥BC，

∵DH⊥BC，

∴∠DHP= ∠DHC =90°.

由題意得：AB=DH=3，AD=BH=4 ，

∵Rt△DHC中，，

∴，∴HC=6，

∴BC=10 ，

∴梯形ABCD的面積；

（2）∵PQ⊥DP，∠ABC=90°，

∴∠BQP=90°﹣∠QPB=∠DPH，

∵∠ABC=∠DHP=90°，

∴△QBP∽△PHD，

∴，

∵PC=x，∴PH=x-6，BP=10-x，

∵AQ=y，∴BQ= 3-y，

∴，

∴，（6≤x<10) ，

（3）當點Q在邊AB上， 6≤x<10，△DPC是銳角三角形，

DP=DC，舍去，

DP=PC，舍去，

DC=PC，則，

，

當點Q在射線AB上， 0<x<6，△DPC是鈍角三角形，

只有：DP=PC，設DP=PC=x，

∵Rt△DHP中，

∴，

∴，

∴，

∴，

綜上：或 .