Question

已知點A，B分別是兩條平行線m，n上任意兩點，C是直線n上一點，且∠ABC=90°，點E在AC的延長線上，BC=kAB（k≠0）．
（1）當k=1時，在圖（1）中，作∠BEF=∠ABC，EF交直線m于點F．寫出線段EF與EB的數量關系，并加以證明；

（2）若k≠1，如圖（2），∠BEF=∠ABC，其它條件不變，探究線段EF與EB的數量關系，并說明理由．

Answer 1

(1) EF=EB；（2）EB=KEF

解析試題分析：（1）在直線m上截取AM=AB，連接ME，易證△MAE≌△BAE，則EM=EB，再根據等角對等邊即可證明EM=EF，從而得到結果
（2）過點E作EM⊥m，可以證明四邊形MENA為矩形，進而即可證明△MEF∽△NEB，根據相似三角形的對應邊的比相等即可得到結果．
（1）在直線m上截取AM=AB，連接ME

BC=kAB，k=1，
∴BC=AB，
∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，
∠FAB=90°，
∵AE=AE，
∴△MAE≌△BAE，
∴EM=EB，∠AME=∠ABE，
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠BEF=180°，
∴∠ABE+∠EFA=180°，
又∵∠AME+∠EMF=180°，
∴∠EMF=∠EFA，
∴EM=EF，
∴EF=EB；
（2）過點E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足為M，N，

∴∠EMF=∠ENA=90°，
∵m∥n，∠ABC=90°，
∴∠MAB=90°，
∴四邊形MENA為矩形，
∴ME=NA，∠MEN=90°，
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠MEF=∠NEB，
∴△MEF∽△NEB，
∴，
∴
在Rt△ANE和Rt△ABC中，
∴EB=KEF.
考點：全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，矩形的判定
點評：本題知識點多，綜合性強，難度較大，正確作出輔助線是解題的關鍵．