Question

【題目】如圖,拋物線y=-x2+x+與x軸交于點A,B(點A在點B的左側),與y軸交于點C.

(1)求點A,B,C的坐標;

(2)若該拋物線的頂點是點D,求四邊形OCDB的面積;

(3)已知點P是該拋物線對稱軸的一點,若以點P,O,D為頂點的三角形是等腰三角形,請直接寫出點P的坐標.(不用說理)

Answer 1

【答案】(1)點A坐標為(-1,0)，點B坐標為(3,0)，點C坐標為；(2)；(3)點P坐標為(1,0)或(1,1+)或(1,1-)或(1,-1).

【解析】

(1)令y=0，可得方程-x2+x+=0，解方程求得x的值，即可得拋物線與x軸的交點坐標；把x=0代入函數的解析式求得y的值，即可得拋物線與y軸的交點坐標；（2）先求得頂點d的坐標，再由四邊形OCDB的面積=△OCD的面積+△OBD的面積即可求得四邊形OCDB的面積；（3）分OD=OP、OD=DP和OP=PD三種情況求點P的坐標即可.

(1)當y=0時,即-x2+x+=0,

解得x1=3,x2=-1,

又點A在點B的左側,

所以點A坐標為(-1,0),點B坐標為(3,0).

當x=0時,y=,

點C坐標為.

(2)y=-x2+x+=-(x-1)2+1,

所以頂點D的坐標為(1,1),

所以四邊形OCDB的面積=△OCD的面積+△OBD的面積=×1+×3×1=.

(3)分三種情況：

①當OD=OP時，如圖1，

P與D關于x軸對稱，

∵D（1，1），

∴P（1，-1），

②當OD=DP時，如圖2，

∵D（1，1），

∴OE=DE=1，

∴OD=，

∴PD=OD=，

∴P1（1，1+），P2（1，1-），

③如圖3，

∵D（1，1），

∴當P在x軸上時，OP=PD=1，

∴P（1，0）；

綜上所述，點P的坐標為：（1，1）或（1，1+）或（1，1-）或（1，0）.