Question

【題目】定義：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，設點P的坐標為（x，y），當x＜0時，點P的變換點P′的坐標為（﹣x，y）；當x≥0時，點P的變換點P′的坐標為（﹣y，x）．

（1）若點A（2，1）的變換點A′在反比例函數y=的圖象上，則k=　 　；

（2）若點B（2，4）和它的變換點B'在直線y=ax+b上，則這條直線對應的函數關系式為　 　，∠BOB′的大小是　 　度．

（3）點P在拋物線y=x2﹣2x﹣3的圖象上，以線段PP′為對角線作正方形PMP'N，設點P的橫坐標為m，當正方形PMP′N的對角線垂直于x軸時，求m的取值范圍．

（4）拋物線y=（x﹣2）2+n與x軸交于點C，D（點C在點D的左側），頂點為E，點P在該拋物線上．若點P的變換點P′在拋物線的對稱軸上，且四邊形ECP′D是菱形，求n的值．

Answer 1

【答案】(1) －2；(2) y=x+，90；(3) m＜0，m=或m=；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．

【解析】

（1）先求出A的變換點A′，然后把A′代入反比例函數即可得到結論；

（2）確定點B′的坐標，把問題轉化為方程組解決；

（3）分三種情形討論：①當m＜0時；②當m≥0，PP'⊥x軸時；③當m≥0，MN⊥x軸時．

（4）利用菱形的性質，得到點E與點P'關于x軸對稱，從而得到點P'的坐標為（2，﹣n）．分兩種情況討論：①當點P在y軸左側時，點P的坐標為（﹣2，﹣n），代入拋物線解析式，求解即可；②當點P在y軸右側時，點P的坐標為（﹣n，﹣2）．代入拋物線解析式，求解即可．

（1）∵A（2，1）的變換點為A′（－1，2），把A′（－1，2）代入y=中，得到k=－2．

故答案為：－2．

（2）點B（2，4）的變換點B′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y=ax+b中．

得到：，解得：，∴．

∵OB2==20，OB′2==20，BB′2==40，∴OB2+OB′2=BB′2，∴∠BOB′=90°．

故答案為：y=x+，90．

（3）①當m＜0時，點P與點P'關于y軸對稱，此時MN垂直于x 軸，所以m＜0．

②當m≥0，PP'⊥x軸時，則點P'的坐標為（m，m），點P的坐標為（m，﹣m）．

將點P（m，﹣m）代入y=x2﹣2x﹣3，得：﹣m=m2﹣2m﹣3．

解得：（不合題意，舍去）．

所以．

③當m≥0，MN⊥x軸時，則PP'∥x軸，點P的坐標為（m，m）．

將點P（m，m）代入y=x2﹣2x﹣3，得：m=m2﹣2m﹣3．

解得：（不合題意，舍去）．

所以．

綜上所述：m的取值范圍是m＜0，m=或m=．

（4）∵四邊形ECP'D是菱形，∴點E與點P'關于x軸對稱．

∵點E的坐標為（2，n），∴點P'的坐標為（2，﹣n）．

①當點P在y軸左側時，點P的坐標為（﹣2，﹣n）．

代入y=（x﹣2）2+n，得：﹣n=（﹣2﹣2）2+n，解得：n=﹣8．

②當點P在y軸右側時，點P的坐標為（﹣n，﹣2）．

代入y=（x﹣2）2+n，得：﹣2=（﹣n﹣2）2+n．解得：n1=﹣2，n2=﹣3．

綜上所述：n的值是n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．