Question

動手操作：

如圖①，把長為l、寬為h的矩形卷成以AB為高的圓柱形，則點A^′與點

A

重合，點B′與B′點

B

重合；
探究發現：
如圖②，圓柱的底面周長是40，高是30，若在圓柱體的側面繞一圈絲線作裝飾，從下底面A出發，沿圓柱側面繞一周到上底面B，則這條絲線最短的長度是

50

；
實踐與應用：
如圖③，圓錐的母線長為4，底面半徑為

4

3

，若在圓錐體的側面繞一圈彩帶做裝飾，從圓錐的底面上的點A出發，沿圓錐側面繞一周回到點A．求這條彩帶最短的長度是多少？
拓展聯想：
如圖④，一顆古樹上下粗細相差不大，可以看成圓柱體．測得樹干的周長為3米，高為18米，有一根紫藤自樹底部均勻的盤繞在樹干上，恰好繞8周到達樹干的頂部，你能求出這條紫藤至少有多少米嗎？

Answer 1

分析：容易得出點A與點A′，B與B′重合；
矩形的對角線即為這條絲線最短的長度，由勾股定理即可得出答案；
連接AA′，根據弧長公式可得出圓心角的度數，由勾股定理可得出AA′；
將大樹近似的看作圓柱將其展開，可得出紫藤的最短長度．

解答：解：動手操作：易得點A與點A′，B與B′重合；
探究與發現：圓柱的底面周長是矩形的長，
∵圓柱的底面周長是40，高是30，
∴矩形的對角線為50，
∴這條絲線最短的長度是 50，
實踐與應用：
連接AA′，
∵底面周長為

8

3

π，∴弧長=

nπ×4

180

=

8

3

π，
∴n=120°即∠AOA′=120°，
∴∠A=30°，
作OB⊥AA′于B，在Rt△OBA中，
∵OA=4，∴OB=2，
∴AB=2

3

，
∴AA′=4

3

；
拓展聯想：
方法一：如圖，紫藤的長為：

182+(3×8)2

=30米；
方法二：紫藤繞樹干的周長為：

( 18 8 )2+32

=

15

4

，
則8周的周長為：8×

15

4

=30米，
故答案為A，B，50．

點評：本題考查了圓錐的計算、圓柱的計算以及其實際應用，綜合性較強難度偏大．