Question

【題目】如圖1,有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=60mm，高AD=40mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？請你計算。

變式（1）如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖2，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算．

變式（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖3，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．

Answer 1

【答案】（1）這個矩形零件的兩條邊長分別為mm，mm；

（2）S有最大值時，PN=30mm，PQ=20mm.

【解析】試題分析：（1）設正方形的邊長為xmm，則PN=PQ=ED=x，AE=AD-ED=80-x，通過證明△APN∽△ABC，利用相似比可得到，然后根據比例性質求出x即可；

（2）由于矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，則可設PQ=x，則PN=2x，AE=40-x，然后與（1）的方法一樣求解；（3）設PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后根據矩形的面積公式列式計算，再根據二次函數的最值問題解答．

試題解析：（1）如圖1，設正方形的邊長為xmm，則PN=PQ=ED=x，∴AE=ADED=40x，∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴,即，

解得x=24.

∴加工成的正方形零件的邊長是24mm；

(2)如圖2，設PQ=x，則PN=2x，AE=40x，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴,即，

解得：x=，

∴2x=,

∴這個矩形零件的兩條邊長分別為mm, mm；

(3)如圖3,設PN=x(mm),矩形PQMN的面積為S(mm2)，

由條件可得△APN∽△ABC，

∴,即，

解得：PQ= .

則S=PNPQ=x()=x2+40x= (x30)2+600，

故S的最大值為600mm2,此時PN=30mm,PQ=40×30=20(mm).