Question

【題目】已知拋物線（m為常數，﹣1≤m≤4）．A（﹣m﹣1，），B（，），C（﹣m，）是該拋物線上不同的三點，現將拋物線的對稱軸繞坐標原點O逆時針旋轉90°得到直線a，過拋物線頂點P作PH⊥a于H．

（1）用含m的代數式表示拋物線的頂點坐標；

（2）若無論m取何值，拋物線與直線y=x﹣km（k為常數）有且僅有一個公共點，求k的值；

（3）當1＜PH≤6時，試比較，，之間的大�。�

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標（，）；（2）k=3；（3）﹣1≤m＜或＜m≤時，有，＜m＜時，有．

【解析】

試題分析：（1）根據頂點坐標公式即可解決問題．

（2）列方程組根據△=0解決問題．

（3）首先證明，再根據點B的位置，分類討論，①令＜﹣m﹣1，求出m的范圍即可判斷，②令=﹣m﹣1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．

③令＞﹣m﹣1，求出m的范圍即可判斷，④令≤＜﹣m，求出m的范圍即可判斷，⑤令=﹣m，B，C重合，不合題意舍棄．⑥令＞﹣m，求出m的范圍即可判斷．

試題解析：（1）∵=，=，∴頂點坐標（，）．

（2）由，消去y得，∵拋物線與x軸有且僅有一個公共點，∴△=0，即（k﹣3）m=0，∵無論m取何值，方程總是成立，∴k﹣3=0，∴k=3；

（3）PH==，∵1＜PH≤6，∴當＞0時，有1＜≤6，又﹣1≤m≤4，∴＜m≤，當＜0時，1＜≤6，又∵﹣1≤m≤4，∴﹣1≤m≤，∴﹣1≤m＜或＜m≤，∵A（﹣m﹣1，）在拋物線上，∴=﹣4m，∵C（﹣m，）在拋物線上，∴=﹣4m，∴；

①令＜﹣m﹣1，則有m＜，結合﹣1≤m≤，∴﹣1≤m＜，此時，在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，如圖1，∴，即當﹣1≤m＜時，有．

②令=﹣m﹣1，則A與B重合，此情形不合題意，舍棄．

③令＞﹣m﹣1，且≤時，有＜m≤，結合﹣1≤m＜，∴＜m≤，此時，在對稱軸的左側，y隨x的增大而減小，如圖2，∴，即當＜m≤時，有；

④令≤＜﹣m，有≤m＜0，結合﹣1≤m＜，∴≤m＜，此時，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，如圖3，∴．

⑤令=﹣m，B，C重合，不合題意舍棄．

⑥令＞﹣m，有m＞0，結合＜m≤，∴＜m≤，此時，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，如圖4，∴，即當＜m≤時，有；

綜上所述，﹣1≤m＜或＜m≤時，有，＜m＜時，有．