Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝－x＋4的圖象與x軸和y軸分別相交于A、B兩點．動點P從點A出發，在線段AO上以每秒3個單位長度的速度向點O作勻速運動，到達點O停止運動，點A關于點P的對稱點為點Q，以線段PQ為邊向上作正方形PQMN．設運動時間為t秒．

（1）當正方形PQMN的邊MN經過點B時，t＝　 　秒；

（2）在運動過程中，設正方形PQMN與△AOB重疊部分的面積為S，求S與t的函數表達式；

（3）連結BN，則BN的最小值為 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當0＜t≤1時，S=t2；②當1＜t≤時，∴S=﹣t2+18t；③當＜t≤2時， S=﹣3t2+12；（3）．

【解析】

(1) 根據y＝－x＋4容易得出A（6，0），B（0，4），所以當正方形PQMN的邊MN經過點B時，正方形邊長為4，則PQ=AP＝4，進一步求出t=；

（2）分三種情況，①利用正方形的面積減去三角形的面積，②利用矩形的面積減去三角形的面積，③利用梯形的面積，即可得出結論；

（3）先找出點N的運動軌跡所在直線的解析式，再用面積求高的方法求出BN的最小值.

解：（1）分別令x=0,y=0,可得 A（6，0），B（0，4），故OB=4.

∴當正方形PQMN的邊MN經過點B時，正方形邊長為4，則PQ=AP＝4，

∴t=;

（2）（2）當點Q在原點O時，OA=6，
∴AP=OA=3，
∴t=3÷3=1，
①當0＜t≤1時，如圖1，

令x=0，
∴y=4，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∵A（6，0），
∴OA=6，
在Rt△AOB中，tan∠OAB==，
由運動知，AP=3t，
∴P（6-3t，0），
∴Q（6-6t，0），
∴PQ=AP=3t，
∵四邊形PQMN是正方形，
∴MN∥OA，PN=PQ=3t，
在Rt△APD中，tan∠OAB===，
∴PD=2t，
∴DN=t，
∵MN∥OA
∴∠DCN=∠OAB，
∴tan∠DCN===，
∴CN=t，
∴S=S正方形PQMN-S△CDN=-t×t=t2；
②當1＜t≤時，如圖2，

同①的方法得，DN=t，CN=t，
∴S=S矩形OENP-S△CDN=3t×（6-3t）-t×t=-t2+18t；
③當＜t≤2時，如圖3，S=S梯形OBDP=（2t+4）（6-3t）=-3t2+12；

∴①當0＜t≤1時，S=t2；②當1＜t≤時，∴S=﹣t2+18t；③當＜t≤2時， S=﹣3t2+12；

（3）如圖，

設點N的運動軌跡所在直線解析式為y=kx+b.由AP=PN＝3t,可知當t=1時，N（3，3），且直線過A（6，0），易得解析式為y=-x+6.當x=0時，y=6.

直線y=-x+6與y軸交于點C，則C（0，6）.可得OC=6,BC=6-4=2.AC＝6

∴S△ABC=×6×2=6,

當BN⊥AC時，BN最小.

S△ABC=BN×AC,

∴BN==

故答案為