Question

【題目】如圖，已知l1⊥l2，⊙O與l1，l2都相切，⊙O的半徑為2cm．矩形ABCD的邊AD，AB分別與l1，l2重合，AB＝cm，AD＝4cm．若⊙O與矩形ABCD沿l1同時向右移動，⊙O的移動速度為3cm/s，矩形ABCD的移動速度為4cm/s，設移動時間為t(s)．

(1)如圖①，連接OA，AC，則∠OAC的度數為 °；

(2)如圖②，兩個圖形移動一段時間后，⊙O到達⊙O1的位置，矩形ABCD到達A1B1C1D1的位置，此時點O1，A1，C1恰好在同一直線上，求圓心O移動的距離(即OO1的長）；

(3)在移動過程中，圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化，設該距離為d(cm)．當d<2時，求t的取值范圍．（解答時可以利用備用圖畫出相關示意圖）

Answer 1

【答案】（1）105；（2）；（3）＜t＜.

【解析】試題分析：（1）⊙O與l1，l2都相切，連接圓心和兩個切點，等正方向.OA即為正方形的對角線，得到∠OAD=450，再在Rt△ADC中，由銳角三角函數求∠DAC=600，從而求得∠OAC的度數1050.

（2）連接O1與切點E，則O1E=2，O1E⊥l1，利用△O1EA1∽△D1C1E1,求A1E=，根據2+O1O+A1E=AA1，可求t，進而求得圓心移動的距離3t=.

（3）圓心O到對角線AC的距離d＜2，即d＜r.說明⊙O與AC相交，所以出找兩個臨界點的t值，即⊙O與AC相切．運動中存在兩個相切的位置.分別求兩個相切時t的值，即可得出d＜r時，t的取值

試題解析：解：（1）1050.

（2）O1，A1，C1恰好在同一直線上時，設⊙O與AC的切點為E，連接O1E，如答圖1，

可得O1E=2，O1E⊥l1，

在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，D1C1=，

∴tan∠C1A1D1=．∴∠C1A1D1=600．

在Rt△A1O1E中, ∠O1A1E=∠C1A1D1=600．∴A1E=,

∵，∴，∴.

∴OO1=3t=.

（3）如答圖2，

①當直線AC與⊙O第一次相切時，設移動時間為t1.如位置一，此時⊙O移動到⊙O2的位置，矩形ABCD移動到A2B2C2D2的位置.

設⊙O2與直線l1、A2C2分別相切于點F、G, 連接O2F、O2G、O2A2，

∴O2F⊥l1、O2G⊥A2C2.

又由（2）可得∠C2A2D2=600于，∴∠GA2F=1200．∴∠O2A2F=600.

在Rt△O2A2F中，O2F=2，∴A2F=.

∵OO2=3t1， ，∴，解得.

②當點O1，A1，C1恰好在同一直線上時為位置二，設移動時間為t2.由（2）可得.

③當直線AC與⊙O第二次相切時，設移動時間為t3．如位置3，由題意知，從位置一到位置二所用時間與位置二到位置三所用時間相等.

∴，即，解得.

綜上所述，當d<2時，t的取值范圍為＜t＜.