Question

如圖，已知AD、BE、CF分別是△ABC三邊的高，H是垂心，AD的延長線交△ABC的外接圓于點G．求證：DH=DG．

Answer 1

證明：連接BG，如圖，
∵AD、BE、CF分別是△ABC三邊的高，H是垂心，
∴∠BEC=90°，∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=∠3+∠ACD，
∴∠EBC=∠3，
∵∠CBG=∠3，
∴∠EBC=∠CBG，
而BD⊥HG，
∴BD平分HG，
即DH=DG．
分析：根據三角形高德定義得到∠BEC=90°，∠ADC=90°，根據等角的余角相等得到∠EBC=∠3，根據同弧或等弧所對的圓周角相等得到∠CBG=∠3，則∠EBC=∠CBG，然后根據等腰三角形三線合一即可得到結論．
點評：本題考查了圓周角定理及其討論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角為直角．