Question

【題目】已知拋物線交軸于點（0，0）和點，拋物線交軸于點（0，0）和點，拋物線交軸于點（0，0）和點…按此規律，拋物線交軸于點（0，0）和點（其中n為正整數），我們把拋物線稱為系數為的“關于原點位似”的拋物線族．

（1）試求出的值；

（2）請用含n的代數式表示線段的長；

（3）探究下列問題：

①拋物線的頂點縱坐標與a、n有何數量關系？請說明理由；

②若系數為a的“關于原點位似”的拋物線族的各頂點坐標記為（T，S），請直接寫出S和T所滿足的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）2 （2） （3）①見解析 ②

【解析】

（1）根據拋物線C1：y1=a(x-1)2+k1（a≠0）交x軸于點（0，0），對稱軸為直線x=1，可得拋物線與x軸的另一個交點，進一步得到b1的值；

（2）由與（1）相同的方法可得bn=2n，則An-1An=bn-bn-1可求；

（3）①由（1）同樣的方法可知，k3=-16a，k4=-64a，按此規律可知，kn與a、n的數量關系；

②根據拋物線族的頂點坐標S和T之間的關系即可求解．

解：（1）∵拋物線C1：y1=a（x﹣1）2+k1（a≠0）交x軸于點（0，0），對稱軸為直線x=1，

∴拋物線與x軸的另一個交點為（2，0），

∴b1=2．

故答案為：2.

（2）由與（1）相同的方法可得b2=4，b3=8，b4=16，

按此規律可得bn=2n，

∴An﹣1An=bn﹣bn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1．

故答案為：2n﹣1

（3）①kn與a、n的數量關系為：kn=﹣4n﹣1a，

理由如下：由（1）將（0，0）代入y1=a（x﹣1）2+k1，可得k1=﹣a，

∵b1=2，

∴C2：y2=a（x﹣b1）2+k2可化為C2：y2=a（x﹣2）2+k2，

∵拋物線C2：y2=a（x﹣2）2+k2交x軸與點（0，0），

∴0=a（0﹣2）2+k2，

∴4a+k2=0，即k2=﹣4a．

用同樣的方法可知，k3=﹣16a，k4=﹣64a，

按此規律可知，kn與a、n的數量關系為：kn=﹣4n﹣1a

故答案為：kn=﹣4n﹣1a.

②由上述可知：的頂點坐標為：

其中， ，

拋物線族的頂點坐標S和T所滿足的函數關系式為：.

故答案為：.