Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射線AB上的一個動點，以點P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線AC的另一個交點為D，直線PD交直線BC于點E．

（1）若點D是AC的中點，則⊙P的半徑為      ；

（2）若AP=2，求CE的長；

（3））當以BE為直徑的圓和⊙P外切時，求⊙P的半徑；

（4）設線段BE的中點為Q，射線PQ與⊙P相交于點I，點P在運動的過程中，能否使點D、C、 I、P構成一個平行四邊形？若能，請求出AP的長；若不能，請說明理由。

 

Answer 1

解：（1）；(2)∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA．

∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE．

∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．

∴∠ABC=∠DEC，．

∴PB=PE．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．

      ∵AP=2，∴PB=PE=3，DE=1 ∴，CE=．(3) 如圖1，設BE的中點為Q，連接PQ，AP=x

∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ACB=90°，∴PQ∥AC，

∴，∴，

∴，． 當以BE為直徑的圓和⊙P外切時，

解得，即AP的長為．

（4）如果點P在線段AB上，點E在線段BC延長線上時（如圖1），由（2）知，△ABC∽△DEC，∴,∴，DC=（5-2x）,當DC=PI時，點D、C、 I、P構成一個平行四邊形，由DC=PI得，（5-2x）= x，x=．

如果點P在線段AB上，點E在線段BC上時（如圖2），DC=（2x -5）, 當DC=PI時，點D、C、 I、P構成一個平行四邊形，由DC=PI得，（2x -5）= x，x=，∵＞5，與點P在線段AB上矛盾，∴x=舍去．

如果點P在線段AB的延長線上（如圖3），點E在線段BC的延長線上時， DC=（2x -5）, 當DC=PI時，點D、C、 I、P構成一個平行四邊形，由DC=PI得，（2x -5）= x，x=．

綜上，AP=或AP=．