Question

【題目】如圖所示，在中，，于點D，BE平分，且于點E與CD相交于點F，于點H，交BE于點G，下列結論：①；②；③④；其中正確的是___________．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

先根據AAS證明△ADC≌△FDB，得到AD=DF，∠DAC=∠DFB，從而得出①正確；

在Rt△ADF中，由AD=DF求得∠DFA，根據等腰直角三角形的性質求得∠HDC=，從而得到∠DFA=∠HDC，由平行線的判定得到④正確；

根據ASA證明△ABE≌△CBE，得到CE=AC，結合①中證明△ADC≌△FDB可得AC=BF，則得出③正確；

由等腰三角形的性質、角平分線的性質和三角形內角和定理求得∠DFB，由等腰三角形的性質、角平分線的性質和三角形外角性質求得∠DGF=，從而得到∠DFB=∠DGF，再由等角對等邊得到②正確．

∵于點D，于點E，

∴∠BDF=∠BDA=,∠BAC+∠ABF=∠DAC+∠ACD=，

∴∠ABF=∠ACD，

在△ADC和△FDB中

，

∴△ADC≌△FDB（AAS），

∴AD=DF，∠DAC=∠DFB，

又∵DF+CF=CD，CD=BD，

∴，故①正確；

∵AD=DF，于點D，

∴∠DAF=∠DFA=，

∵BD=DC，于點D，于點H，

∴∠HDC=∠HDB=，

又∵∠DFA，

∴∠DFA=∠HDC，

∴，故④正確；

∵BE平分，且于點E，

∴∠ABE=∠CBE,∠AEB=∠CEB，

在△ABE和△CBE中

，

∴△ABE≌△CBE，

∴AE=CE，

∴CE=AC，

又∵△ADC≌△FDB，

∴BF=AC，

∴，故③正確；

∵，于點D，

∴∠DBC=,

又∵BE平分，

∴∠DBE=，

∴∠DFB=，

又∵∠HDB=，

∴∠DGF=∠DBG+∠BDG=+=，

∴∠DFB=∠DGF，

∴DG＝DF，故②正確．

故答案為：①②③④．