Question

【題目】已知：如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，4），點D是OA中點，點P在BC上以每秒1個單位的速度由C向B運動，設運動時間為t秒．

（1）△ODP的面積S= ．
（2）t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形？
（3）在線段PB上是否存在一點Q，使得ODQP為菱形？若存在，求t的值，并求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由；
（4）若△OPD為等腰三角形，請寫出所有滿足條件的點P的坐標（請直接寫出答案，不必寫過程）

Answer 1

【答案】
（1）10
（2）

解：∵PB∥OD，

∴當PB=OD時，四邊形PODB是平行四邊形，

∵OD=5，

∴PB=5，

∴PC=BC﹣PB=10﹣5=5，

∵點P在BC上以每秒1個單位的速度由C向B運動，

∴t=5

（3）

解：當OD=OP=PQ=5時，ODQP為菱形，

在Rt△OPC中，由勾股定理得：

PC= = =3，

∴t=3，CQ=CP+PQ=3+5=8，

∴Q點的坐標為（8，4）

（4）

解：△OPD為等腰三角形時，分三種情況：

①如果O為頂點，那么OP=OD=5，

由勾股定理可以求得PC=3，此時P1（3，4）；

②如果P為頂點，那么PO=PD，

作PE⊥OA于E，則OE=ED=2.5，此時P2（2.5，4）；

③如果D為頂點，那么DP=DO=5，

作DF⊥BC于F，由勾股定理，得PF=3，

∴P3C=5﹣3=2或P4C=5+3=8，此時P3（2，4），P4（8，4）．

綜上所述，滿足條件的點P的坐標為P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）．

【解析】解：（1）∵O為坐標原點，A（10，0），四邊形OABC為矩形，C（0，4），
∴OA=BC=10，OC=4，
∵點D是OA中點，
∴OD=DA= OA=5，
∴△ODP的面積S= ODOC= ×5×4=10．
所以答案是10；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．