Question

如圖（1）已知△ABC的外角∠CBD與∠BCE的平分線相交于點P，如圖（2）已知△ABC的內角∠ABC與外角∠ACD的角平分線相交于點P．
選擇其中一個圖形猜想∠BPC與∠A的關系并證明你的猜想

解：
我選擇的是

 

，猜想結論：

 

證明：

Answer 1

分析：圖（1）中，根據三角形的內角和定理、角平分線定義和三角形的外角的性質進行推導，得∠BPC=90°-

1

2

∠A；
圖（2）中，根據角平分線定義和三角形的外角的性質，可以得到∠BPC=

1

2

∠A．

解答：解：圖（1）
∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB
=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
=180°+∠A，
∵BP，CP分別是△ABC外角∠DBC，∠BCE的角平分線，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠DBC+∠ECB）=

1

2

（180+∠A）°，
即：∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=（90-

1

2

∠A）°；


圖（2），結論：∠BPC=

1

2

∠A．
證明如下：
∵∠1是△PBC的外角，
∴∠P=∠1-∠2=

1

2

（∠ACD-∠ABC）=

1

2

∠A．

點評：此題要能夠利用三角形的內角和定理及其推論、角平分線的定義推導角之間的關系．